(2003年试题,十)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且.f’(x)>0.若极限存在,证明:(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ使(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f’(η)(b2

admin2019-03-21  45

问题 (2003年试题,十)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且.f(x)>0.若极限存在,证明:(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ使(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使f(η)(b2-a2)=

选项

答案(1)由题设,[*]存在,因此[*]已知f(x)在[a,b]上连续,因此f(a)=0,又由f(x)>0知f(x)在(a,b)内严格单调递增,所以f(x)>f(a)=0,即f(x)>0,x∈(a,b),引入辅助函数F(x)=x2及G(x)=[*](2)则G(x)=f(x)>0,故F(x)与G(x)满足应用柯西中值定理的条件,则存在点ξ∈(a,b),使得[*]即[*](3)由前述知道f(a)=0,因而f(ξ)=f(ξ)一f(a),其中ξ∈(a,b),在[a,ξ)上应用拉格朗日中值定理,知存在η∈(a,ξ),使f(ξ)=f(η)(ξ—a)则由(2)已知结论,有[*]此即f(η)(b2一a2)=[*]

解析 中值定理是考研中的重点,构造辅助函数是解与中值定理有关的证明题的有效方法,考生应重点掌握.
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