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(99年)设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数.且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=3.
(99年)设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数.且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=3.
admin
2018-07-27
59
问题
(99年)设函数f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数.且f(一1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(一1,1)内至少存在一点ξ,使f"(ξ)=3.
选项
答案
由泰勒中值定理可知 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*] 其中η介于0与x之间,x∈[一1,1] 分别令x=一1和x=1,并结合已知条件得 [*] 两式相减可得 f"’(η
1
)+f"’(η
2
)=6 由f"’(x)的连续性,f"’(x)在闭区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 [*] 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1) 使[*]
解析
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考研数学二
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