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设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量a3满足 Aa3=a2+a3, (Ⅰ)证明a1,a2,a3线性无关; (Ⅱ)令P=(a1,a2,a3,求P-1AP.
设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量a3满足 Aa3=a2+a3, (Ⅰ)证明a1,a2,a3线性无关; (Ⅱ)令P=(a1,a2,a3,求P-1AP.
admin
2014-08-19
93
问题
设A为3阶矩阵,a
1
,a
2
为A的分别属于特征值-1、1的特征向量,向量a
3
满足
Aa
3
=a
2
+a
3
,
(Ⅰ)证明a
1
,a
2
,a
3
线性无关;
(Ⅱ)令P=(a
1
,a
2
,a
3
,求P
-1
AP.
选项
答案
(Ⅰ)假设a
1
,a
2
,a
3
线性相关,则a
3
可由a
1
,a
2
线性表出, 可设a
3
=k
1
a
1
+k
2
a
2
,其中k
1
,k
2
不全为0, 否则由等式Aa
3
=a
2
+a
3
得到a
2
=0,不符合题设. 因为a
1
,a
2
为矩阵A的分别属于特征值-1,1的特征向量,所以Aa
1
=a
1
,Aa
2
=a
2
, 则Aa
3
=A(k
1
a
1
+k
2
a
2
)=-k
1
a
1
+k
2
a
2
=a
2
+k
1
a
1
+k
2
a
2
. 等式中a
1
,a
2
的对应系数相等,即[*] 显然此方程组无解,故假设不成立,从而可知a
1
,a
2
,a
3
线性无关. (Ⅱ)因为a
1
,a
2
,a
3
线性无关,所以矩阵P=(a
1
,a
2
,a
3
)可逆, 由于AP=A(a
1
,a
2
,a
3
)=(-a
1
,a
2
,a
2
+a
3
)=(a
1
,a
2
,a
3
)[*] 等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P
-1
,可得P
-1
AP=P
-1
P[*]
解析
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0
考研数学二
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