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设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量，向量a3满足 Aa3=a2+a3， (Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关； (Ⅱ)令P=(a1，a2，a3，求P-1AP．
设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1、1的特征向量，向量a3满足 Aa3=a2+a3， (Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关； (Ⅱ)令P=(a1，a2，a3，求P-1AP．
admin
2014-08-19
56
问题
设A为3阶矩阵，a
1
，a
2
为A的分别属于特征值-1、1的特征向量，向量a
3
满足
Aa
3
=a
2
+a
3
，
(Ⅰ)证明a
1
，a
2
，a
3
线性无关；
(Ⅱ)令P=(a
1
，a
2
，a
3
，求P
-1
AP．
选项
答案
(Ⅰ)假设a
1
，a
2
，a
3
线性相关，则a
3
可由a
1
，a
2
线性表出， 可设a
3
=k
1
a
1
+k
2
a
2
，其中k
1
，k
2
不全为0， 否则由等式Aa
3
=a
2
+a
3
得到a
2
=0，不符合题设． 因为a
1
，a
2
为矩阵A的分别属于特征值-1，1的特征向量，所以Aa
1
=a
1
，Aa
2
=a
2
， 则Aa
3
=A(k
1
a
1
+k
2
a
2
)=-k
1
a
1
+k
2
a
2
=a
2
+k
1
a
1
+k
2
a
2
． 等式中a
1
，a
2
的对应系数相等，即[*] 显然此方程组无解，故假设不成立，从而可知a
1
，a
2
，a
3
线性无关． (Ⅱ)因为a
1
，a
2
，a
3
线性无关，所以矩阵P=(a
1
，a
2
，a
3
)可逆， 由于AP=A(a
1
，a
2
，a
3
)=(-a
1
，a
2
，a
2
+a
3
)=(a
1
，a
2
，a
3
)[*] 等式两边同时左乘矩阵P的逆矩阵P
-1
，可得P
-1
AP=P
-1
P[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Gk34777K
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考研数学二
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