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设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt.证明: (1)若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数; (2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt.证明: (1)若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数; (2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
admin
2019-05-14
27
问题
设f(x)连续,且F(x)=∫
0
x
(x一2t)f(t)dt.证明:
(1)若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数;
(2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
选项
答案
(1)设f(一x)=f(x), 因为F(—x)=∫
0
—x
(一x一2t)f(t)dt[*]∫
0
—x
(一x+2u)f(—u)(一du) =∫
0
x
(x一2u)f(u)du=F(x), 所以F(x)为偶函数. (2)F(x)=∫
0
x
(x一2t)f(t)dt=x∫
0
x
f(t)dt一2∫
0
x
tf(t)dt, F’(x)=∫
0
x
f(t)dt—xf(x)=x[f(ξ)一f(x)],其中ξ介于0与x之间, 当x<0时,x≤ξ≤0,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0, 当x≥0时,0≤ξ≤x,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0, 从而F(x)单调不减.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Cg04777K
0
考研数学一
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