已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是____________.

admin2014-08-18 69

问题已知矩阵

只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是____________.

选项

答案k(一1，1，1)^T，k≠0为任意常数．

解析 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵A只有一个线性尤关的特征向量，故特征值λ₀必是3重根，且秩r(λ₀E—A)=2．由∑λ_i=∑a_ii知3λ₀=4+(一2)+1，得特征值λ=1(3重)．又

因为秩r(E—A)=2，因此有a=一2．此时(E—A)x=0的基础解系是(一1，1，1)^T．故A的特征向量为k(一1，1，1)^T，k≠0为任意常数．

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