设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．

admin2021-07-27 49

问题设A为n阶矩阵，λ₁和λ₂是A的两个不同的特征值，x₁，x₂是分别属于λ₁和λ₂的特征向量．证明：x₁+x₂不是A的特征向量．

选项

答案反证法．设x₁+x₂是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x₁+x₂)=λ(x₁+x₂)，则(λ-λ₁)x₁+(λ-λ₂)x₂=0．因为λ₁≠λ₂，所以x₁，x₂线性无关，矛盾，故得证．

解析

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