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设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则下列命题错误的是( )。
设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则下列命题错误的是( )。
admin
2021-07-15
56
问题
设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则下列命题错误的是( )。
选项
A、若F(x)为奇函数,则f(x)必定为偶函数
B、若f(x)为奇函数,则F(x)必定为偶函数
C、若f(x)为偶函数,则F(x)必定为奇函数
D、若F(x)为偶函数,则f(x)必定为奇函数
答案
C
解析
若f(x)为奇函数,即F(-x)=-F(x),两端关于x求导,可得
-F’(-x)=-F’(x)
即F’(-X)=F’(x)
从而知f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,可知A正确。
由题设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,因此F’(x)=f(x),由于连续的奇函数的所有原函数都是偶函数,所以B正确。
若取f(x)=x
2
,则f(x)为偶函数,但是(
x
3
+1)’=x
2
,表明
x
3
+1为f(x)=x
2
的一个原函数,此函数
x
3
+1不是奇函数,表明C不正确。
若F(x)为偶函数,即F(-x)=F(x),两端关于x求导,可得-F’(-x)=F’(x),即-f(-x)=f(x),可知f(x)为奇函数,因此D正确,故选C.
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考研数学二
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