2. 考研
  3. 设向量组，α1=(a，2，10)T，α2=(一2，1，5)T，α2=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T．试问a，b，c满足什么条件时： (Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一? (Ⅱ)β不能由α1，α2，α3线性表出?

设向量组，α1=(a，2，10)T，α2=(一2，1，5)T，α2=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T．试问a，b，c满足什么条件时： (Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一? (Ⅱ)β不能由α1，α2，α3线性表出?

admin2021-01-25  20
问题 设向量组，α1=(a，2，10)T，α2=(一2，1，5)T，α2=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T．试问a，b，c满足什么条件时：
    (Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一?
    (Ⅱ)β不能由α1，α2，α3线性表出?
    (Ⅲ)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式。
选项
答案设方程组α1x1+α2x2+α3x3=β。 (*) 对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有 [*] (Ⅰ)当a≠一4时，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=3。方程组(*)有唯一解，即β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一。 (Ⅱ)当a=一4，但c一3b+1≠0时，r(α1，α2，α3)一2≠r(α1，α2，α3，β)=3，方程组(*)无解，β不可由α1，α2，α3线性表出。 (Ⅲ)当a=一4，且c一3b+1=0时，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，方程组(*)有无穷多解，此时有 (α1，α2，α3┇β)→[*]， 得对应齐次方程组的基础解系为：ξ1=(1，一2，0)T(取自由未知量x1=1，回代得x2=一2，x3=0)，非齐次方程的一个特解是η=[0，一(b+1)，(2b+1)]T，故通解为 [*]，其中k是任意常数。 故有β=kα1一(2k+b+1)α2+(2b+1)α3。
解析
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考研数学三

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