2. 考研
  3. 设f(x),g（x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明：存在ξ∈（a,b),使得 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.

设f(x),g（x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明：存在ξ∈（a,b),使得 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.

admin2021-07-15  33
问题 设f(x),g（x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明：存在ξ∈（a,b),使得
f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
选项
答案令F(x)=f(x)g(x),在x=a处展开为泰勒公式，有 F(x)=F(a)+F’(a)(x－a)+[*]F"(ξ)(x－a)2(a＜ξ＜x) ① 令x=b,代入①式，则 F(b)=F(a)+F’(a)(b－a)+[*]F"(ξ)(b－a)2(a＜ξ＜b) ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0,则F（a)=F(b)=0,且F’（a)=0,代入②式，得F”(ξ)=0,即 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
解析
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考研数学二

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