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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
admin
2021-07-15
24
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得
f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=f(x)g(x),在x=a处展开为泰勒公式,有 F(x)=F(a)+F’(a)(x-a)+[*]F"(ξ)(x-a)
2
(a<ξ<x) ① 令x=b,代入①式,则 F(b)=F(a)+F’(a)(b-a)+[*]F"(ξ)(b-a)
2
(a<ξ<b) ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0,则F(a)=F(b)=0,且F’(a)=0,代入②式,得F”(ξ)=0,即 f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0.
解析
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