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  3. 设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。 当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。 当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

admin2019-06-28  36
问题 设四元齐次线性方程组(1)为而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。
当a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。
选项
答案设η是方程组(1)与(2)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。由k1β1+k2β2—l1α1—l2α2=0，得齐次方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 [*] 当a≠一1时，方程组(3)的系数矩阵变为 [*]。 可知方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合题意。当a=一1时，方程组(3)系数矩阵变为 [*]， 解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以当a=一1时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，1，l2为任意常数。
解析
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考研数学二

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