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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ)。
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ)。
admin
2018-04-14
50
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ)。
选项
答案
令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且F(a)=F(b)=0。 若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值,则f(c)=g(c)[*]F(c)=0,于是由罗尔定理可得,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0。 再利用罗尔定理,可得存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得F"(ξ)=0,即f"(ξ)=g"(ξ)。 若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c
1
,c
2
取得最大值,则f(c
1
)=g(c
2
)=M,于是 F(c
1
)=f(c
1
)-g(c
1
)>0,F(c
2
)=f(c
2
)-g(c
2
)<0, 于是由零点定理可得,存在c
3
∈(c
1
,c
2
),使得F(c
3
)=0,又由罗尔定理可得,存在ξ
1
∈(a,c
3
),ξ
2
∈(c
3
,b),使得F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0。 再一次利用罗尔定理可得,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得F"(ξ)=0,即f"(ξ)=g"(ξ)。
解析
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考研数学二
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