2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。

admin2018-04-14  75
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。
选项
答案令F(x)=f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且F(a)=F(b)=0。 若f(x)，g(x)在(a，b)内同一点c取得最大值，则f(c)=g(c)[*]F(c)=0，于是由罗尔定理可得，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0。 再利用罗尔定理，可得存在ξ∈(ξ1，ξ2)，使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)。 若f(x)，g(x)在(a，b)内不同点c1，c2取得最大值，则f(c1)=g(c2)=M，于是 F(c1)=f(c1)－g(c1)＞0，F(c2)=f(c2)－g(c2)＜0， 于是由零点定理可得，存在c3∈(c1，c2)，使得F(c3)=0，又由罗尔定理可得，存在ξ1∈(a，c3)，ξ2∈(c3，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0。 再一次利用罗尔定理可得，存在ξ∈(ξ1，ξ2)，使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)。
解析
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考研数学二

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