2. 考研
  3. 设连续函数f(x)满足： 19f(x)＋∫0xtf(x－t)dt＝sinx＋x2＋1， 求f(x)．

设连续函数f(x)满足： 19f(x)＋∫0xtf(x－t)dt＝sinx＋x2＋1， 求f(x)．

admin2021-03-16  52
问题 设连续函数f(x)满足：
19f(x)＋∫0xtf(x－t)dt＝sinx＋x2＋1，
求f(x)．
选项
答案由[*]得f(x)＋x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du＝sinx＋x2＋1， 上式两边求导得 f’(x)＋∫0xf(u)du＝cosx＋2x， 再求导得 f"(x)＋f(x)＝－sinx＋2， f"(x)＋f(x)＝0的通解为f(x)＝C1cosx＋C2sinx； 令f"(x)＋f(x)＝－sinx的特解为f1(x)＝x(a cosx＋bsinx)，代入得[*] 显然f2(x)＝2为f"(x)＋f(x)＝2的一个特解， 故f"(x)＋f(x)＝－sinx＋2的通解为f(x)＝C1cosx＋C2sinx＋[*]cosx＋2， 再由f(0)＝1，f’(0)＝1得C1＝－1，C2＝[*]，故 f(x)＝－cosx＋[*]cosx＋2．
解析
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考研数学二

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