2. 专升本
  3. 设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ε使得f′(ε)g(ε)+2f(ε)g′(ε)=0。

设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ε使得f′(ε)g(ε)+2f(ε)g′(ε)=0。

admin2018-08-06  0
问题 设函数f(x)和g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明在(a，b)内至少存在一点ε使得f′(ε)g(ε)+2f(ε)g′(ε)=0。
选项
答案设F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x)在[a，b]上连续，在 (a，b)内可导，并且F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，即f′(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g′(ξ)=0，由于g(ξ)≠0，得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。
解析
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