2. 考研
  3. 设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

admin2017-04-24  110
问题 设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．
选项
答案将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得 (4+2α+β)e2x+(3+2α+β)ex+(1+α+β)xex=γex 比较同类项的系数有 [*] 解得 a=一3，β=2，γ=一1 即原方程为 y"一3y’+ 2y=一ex 其特征方程为r2一 3r+2=0 解得 r1=1，r2=2 故齐次通解为 [*]=C1ex+C2e2x 则原方程通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex 由于y=e2x+(1+x)x为原二阶线性常系数非齐次方程的特解可知ex和e2x为原方程对应齐次 方程两个解，xex为非齐次方程一个解． 则齐次方程特征方程为 (r一1)(r一2)=0 即 r2一3r+2=0 对照原方程知，a=一3，β=2 将 y=xex代入原方程得y=一1 故原方程为 y"一3y’+2y=一ex， 其通解为 y=C1ex+C2e2x+xex.
解析
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考研数学二

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