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设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α、β、γ,并求该方程的通解.
设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α、β、γ,并求该方程的通解.
admin
2017-04-24
72
问题
设二阶常系数线性微分方程y"+αy’+βy=γe
x
的一个特解为y=e
2x
+(1+x)e
x
,试确定常数α、β、γ,并求该方程的通解.
选项
答案
将y=e
2x
+(1+x)e
x
代入原方程得 (4+2α+β)e
2x
+(3+2α+β)e
x
+(1+α+β)xe
x
=γe
x
比较同类项的系数有 [*] 解得 a=一3,β=2,γ=一1 即原方程为 y"一3y’+ 2y=一e
x
其特征方程为r
2
一 3r+2=0 解得 r
1
=1,r
2
=2 故齐次通解为 [*]=C
1
e
x
+C
2
e
2x
则原方程通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+e
2x
+(1+x)e
x
由于y=e
2x
+(1+x)
x
为原二阶线性常系数非齐次方程的特解可知e
x
和e
2x
为原方程对应齐次 方程两个解,xe
x
为非齐次方程一个解. 则齐次方程特征方程为 (r一1)(r一2)=0 即 r
2
一3r+2=0 对照原方程知,a=一3,β=2 将 y=xe
x
代入原方程得y=一1 故原方程为 y"一3y’+2y=一e
x
, 其通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
+xe
x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Cyt4777K
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考研数学二
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