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(I)求定积分an＝∫02x(2x－x2)ndx，n＝1,2，…； (Ⅱ)对于(I)中的an，证明an﹢1＜an(n＝1，2，…)且＝0．
(I)求定积分an＝∫02x(2x－x2)ndx，n＝1,2，…； (Ⅱ)对于(I)中的an，证明an﹢1＜an(n＝1，2，…)且＝0．
admin
2018-12-21
51
问题
(I)求定积分a
n
＝∫
0
2
x(2x－x
2
)
n
dx，n＝1,2，…；
(Ⅱ)对于(I)中的a
n
，证明a
n﹢1
＜a
n
(n＝1，2，…)且
＝0．
选项
答案
(I)当n≥2时，计算a
n
＝∫
0
2
x(2x－x
2
)
n
dx＝∫
0
2
x[1－(1－x)
2
]
n
dx，作积分变量代换，令1－x＝t，于是 a
n
＝∫
1
－1
(1一t)(1－t
2
)
n
(－dt)＝∫
－1
1
(1－t
2
)
n
dt－∫
－1
1
t(1－t
2
)
n
dt＝∫
－1
1
(1－t
2
)
n
dt＝2∫
0
1
(1－t
2
)
n
dt． 下面用分部积分法计算： a
n
＝2∫
0
1
(1﹣t
2
)
n
dt＝2∫
0
1
(1﹣t
2
)(1﹣t
2
)
n﹣1
dt ＝a
n﹣1
﹣2∫
0
1
t(1﹣t
2
)
n﹣1
tdt ＝a
n﹣1
﹢[*]∫
0
1
td[(1﹣t
2
)
n
] ＝a
n﹣1
﹣[*]∫
0
1
(1﹣t
2
)
n
dt＝a
n﹣1
﹣[*] [*] 其中a
1
＝∫
0
2
x(2x﹣x
2
)dx＝[*] (Ⅱ)由(I)知，以a
n
的迭代式显然有0﹤a
n
﹤a
n－1
(n＝2，3，…)．又 [*]
解析
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考研数学二
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