(2011年)设函数y(χ)具有二阶导数,且曲线l:y=y(χ)与直线y=χ相切于原点.记a为曲线l在点(χ,y)处切线的倾角,若,求y(χ)的表达式.

admin2016-05-30  22

问题 (2011年)设函数y(χ)具有二阶导数,且曲线l:y=y(χ)与直线y=χ相切于原点.记a为曲线l在点(χ,y)处切线的倾角,若,求y(χ)的表达式.

选项

答案由于y′=tanα,即α==arctany′,所以[*] 于是有[*]=y′,即y〞=y′(1+y′2). ① 令y′=P,则y〞=P′,代入①式得 P′=p(1+P2) 分离变量得 [*] 两边积分得ln[*]=2χ+lnC1. ② 由题意y′(0)=1,即当χ=0时p=1,代入②式得C1=[*],于是有 [*] 两边积分得[*] 由y(0)=0得C2=-[*].所以yαarcsin[]

解析
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