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(2017年)设为3阶矩阵．P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P-1AP=，则A(α1+α2+α3)=
(2017年)设为3阶矩阵．P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵，使得P-1AP=，则A(α1+α2+α3)=
admin
2018-07-30
45
问题
(2017年)设为3阶矩阵．P=(α
1
，α
2
，α
3
)为可逆矩阵，使得P
-1
AP=
，则A(α
1
+α
2
+α
3
)=
选项
A、α
1
+α
2
．
B、α
2
+2α
3
．
C、α
1
+α
3
．
D、α
1
+2α
2
．
答案
B
解析
方法1：由已知的P
-1
AP=
A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
.
[α
1
，Aα
2
，Aα
3
]=[0 α
2
2α
5
]
Aα
1
=0，Aα
2
=α
2
，A
3
=2α
4
A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=0+α
2
+2α
3
=α
2
+2α
3
故只有选项(B)正确．
方法2：由题设条件知方阵A相似于对角阵diag{0，1，2}，因此A的特征值为0．1，2，而矩阵P的3个列向量依次为对应的特征向量，即有
Aα
1
=0，Aα
2
=α
2
，Aα
3
=2α
3
从而有
A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=0+α
2
+2α
3
=α
2
+2α
3
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