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设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题 ①(I)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(I)的解; ③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解. 其中,正确的
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有命题 ①(I)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(I)的解; ③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解. 其中,正确的
admin
2016-06-25
85
问题
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(I)A
n
x=0和(Ⅱ)A
n+1
x=0,现有命题
①(I)的解必是(Ⅱ)的解;
②(Ⅱ)的解必是(I)的解;
③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解;
④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解.
其中,正确的是 ( )
选项
A、①④
B、①②
C、②③
D、③④
答案
B
解析
当A
n
x=0时,易知A
n+1
x=A(A
n
x)=0,故(I)的解必是(Ⅱ)的解,也即①正确,③错误.
当A
n+1
x=0时,假设A
n
x≠0,则有x,Ax,…,A
n
x均不为零,可以证明这种情况下x,Ax,…,A
n
x是线性无关的.由于x,Ax,…,A
n
x均为n维向量,而n+1个n维向量都是线性相关的,矛盾.故假设不成立,因此必有A
n
x=0.可知(Ⅱ)的解必是(I)的解,故②正确,④错误.故选(B).
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考研数学二
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