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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0, 且g(x)≠0(x∈[a,b]),g″(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0, 且g(x)≠0(x∈[a,b]),g″(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ
admin
2022-08-19
63
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f′+(a)f′-(b)>0,
且g(x)≠0(x∈[a,b]),g″(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得
f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ).
选项
答案
设f′
+
(a)>0,f′
-
(b)>0, 由f′
+
(a)>0,存在x
1
∈(a,b),使得f(x
1
)>f(a)=0; 由f′
-
(b)>0,存在x
2
∈(a,b),使得f(x
2
)<f(b)=0; 因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 令h(x)=f(x)/g(x),显然h(x)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0, 存在ξ
1
(a,c),ξ
2
∈(a,b),使得h′(ξ
1
)=h′(ξ
2
)=0, 而h′(x)=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/g
2
(x),所以[*] 令φ(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x),φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得φ′(ξ)=0, 而ξ′(x)=f″(x)g(x)-f(x)g″(x),所以f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ).
解析
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考研数学三
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