2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′-(b)＞0， 且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′-(b)＞0， 且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ

admin2022-08-19  58
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′+(a)f′-(b)＞0，
且g(x)≠0(x∈[a，b])，g″(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ).
选项
答案设f′+(a)＞0，f′-(b)＞0， 由f′+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0； 由f′-(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0； 因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0. 令h(x)=f(x)/g(x)，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0， 存在ξ1(a，c)，ξ2∈(a，b)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0， 而h′(x)=[f′(x)g(x)-f(x)g′(x)]/g2(x)，所以[*] 令φ(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ′(ξ)=0， 而ξ′(x)=f″(x)g(x)-f(x)g″(x)，所以f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ).
解析
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考研数学三

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