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设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n.证明:A,B有公共的特征向量.
设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n.证明:A,B有公共的特征向量.
admin
2015-07-22
55
问题
设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n.证明:A,B有公共的特征向量.
选项
答案
因为r(A)+r(B)<n,所以r(A)<n,r(B)<n,于是λ=0为A,B公共的特征值, A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解; B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解, 因为[*]≤r(A)+r(B)<n,所以方程组[*]有非零解,即A,B有公共的特征向量.
解析
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考研数学一
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