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设齐次线性方程组,其中a≠0,b≠0,n≥2,试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
设齐次线性方程组,其中a≠0,b≠0,n≥2,试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
admin
2013-08-30
78
问题
设齐次线性方程组
,其中a≠0,b≠0,n≥2,试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
选项
答案
由题设,方程组的系数矩阵为A=[*] 则|A|=[*] 当a≠b且a+(n-1)b≠0,即a≠(1-n)b时,方程组仅有零解. 当a=b时,对A可作初等行变换化为阶梯形[*] 则不难求得原方程组的基础解系为[*] 因此方程组的全部解是x=k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为任意常数. 当a=(1-n)b时,同样对A作初等行变换化为阶梯形[*] 则可得此时基础解系为[*],从而原方程组的全部解是kξ,其中k为任意常数.
解析
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考研数学一
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