设齐次线性方程组，其中a≠0，b≠0，n≥2，试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

admin2013-08-30 31

问题设齐次线性方程组

，其中a≠0，b≠0，n≥2，试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

选项

答案由题设，方程组的系数矩阵为A=[*] 则｜A｜=[*] 当a≠b且a+(n-1)b≠0，即a≠(1-n)b时，方程组仅有零解．当a=b时，对A可作初等行变换化为阶梯形[*] 则不难求得原方程组的基础解系为[*] 因此方程组的全部解是x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-1ξ_n-1，其中k₁，k₂，…，k_n-1为任意常数．当a=(1-n)b时，同样对A作初等行变换化为阶梯形[*] 则可得此时基础解系为[*]，从而原方程组的全部解是kξ，其中k为任意常数．

解析

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考研数学一

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设齐次线性方程组，其中a≠0，b≠0，n≥2，试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

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