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  3. 设向量组 试问： (1)a为何值时，向量组线性无关? (2)a为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解．

设向量组 试问： (1)a为何值时，向量组线性无关? (2)a为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解．

admin2021-02-25  85
问题 设向量组
  
试问：
(1)a为何值时，向量组线性无关?
(2)a为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解．
选项
答案依题意有x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0．对方程组的系数矩阵A施以初等行变换，得 [*] 显然，当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0， 此时，方程组的通解为 [*] 其中k1，k2，k3为任意常数． 当a≠0时，由 [*] 显然，当a≠-10时，r(A)=4，故方程组仅有零解，从而α1，α2，α3，α4线性无关． 当a=-10时，r(A)=3＜4，此时方程有非零解，从而α1，α2，α3，α4线性相关． 此时通解为 [*]
解析 本题考查向量组线性相关性的定义，并注意到向量组α1，α2，α3，α4线性无关，其对应的齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0仅有零解；若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，其对应的齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0有非零解．
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考研数学二

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