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设向量组 试问: (1)a为何值时,向量组线性无关? (2)a为何值时,向量组线性相关,此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解.
设向量组 试问: (1)a为何值时,向量组线性无关? (2)a为何值时,向量组线性相关,此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解.
admin
2021-02-25
109
问题
设向量组
试问:
(1)a为何值时,向量组线性无关?
(2)a为何值时,向量组线性相关,此时求齐次线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0的通解.
选项
答案
依题意有x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0.对方程组的系数矩阵A施以初等行变换,得 [*] 显然,当a=0时,r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0, 此时,方程组的通解为 [*] 其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数. 当a≠0时,由 [*] 显然,当a≠-10时,r(A)=4,故方程组仅有零解,从而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 当a=-10时,r(A)=3<4,此时方程有非零解,从而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 此时通解为 [*]
解析
本题考查向量组线性相关性的定义,并注意到向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,其对应的齐次线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0仅有零解;若向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,其对应的齐次线性方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=0有非零解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QY84777K
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