设函数f(x)在[0,π]上连续,且 试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

admin2019-02-20  55

问题 设函数f(x)在[0,π]上连续,且
            
    试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

选项

答案【证法一】 令[*]则有F(0)=0,F(π)=0.又因为 [*] 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,均与[*]矛盾.但当ξ∈(0,π)时sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由以上证得,存在满足0<ξ<π的ξ,使得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0. 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理知,至少存在ξ1∈(0,ξ)和ξ2∈(ξ,π),使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0,即f(ξ1)=f(ξ2)=0. 【证法二】 由[*]知,存在ξ1∈(0,π),使f(ξ1)=0.因若不然,则在(0,π)内f(x)恒为正或恒为负,均与[*]矛盾. 若在(0,π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ1,则由[*]推知,f(x)在(0,ξ1)内与(ξ1,π)内异号. 不妨设在(0,ξ1)内f(x)>0,在(ξ1,π)内f(x)<0,于是再由 [*] 及cosx在[0,π]上的单调性知: [*] 从而推知,在(0,π)内除ξ1外,f(x)=0至少还有另一实根ξ2,故知存在ξ1,ξ2∈(0,π),ξ1≠ξ2,使得f(ξ1)=f(ξ2).

解析则F(0)=F(π)=0.若由条件能找到另一点ξ∈(0,π),使F(ξ)=0,再用两次罗尔定理即可.
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