设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Q），下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-12-29 35

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Q），下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（一1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（一1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Q），下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(A)=f(b)=g(A)=0．证明：∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．

设{Xn}是一随机变量序列，Xn的密度函数为：

求函数y=excosx的极值．

已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数；D=D(p)=，S=S(p)=bp，其中a＞0和b＞0为常数；价格p是时间t的函数且满足方程=k[D(p)一S(p)](k为正的常数)．假设当t=0时价格为1，试求价格函数p(t)；

设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f"(x)＜0．试证：若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有f(x0)≥f(x)-f’(x0)(x-x0)，当且仅当x=x0时等号成立；

已知y1=xex+e2x和y2一xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n一中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=二次型g(x)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由。

当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在0．4至0．6之间的概率不小于0．97试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(Ф(1．645)=0．95)

行列式的第4行各元素的余子式之和的值为_______．

设求常数A与k使得当x→0时f(x)与Axk是等价无穷小量．

滚动摩擦支承轴系采用滚动轴承支承。举例说明滚动摩擦支承轴系有哪几种主要结构类型?

下列五输穴中，五行属性不属土的是

妊娠期间，母体组织间隙液增加的原因有

使用高级筛选的操作步骤有()。

某期货公司从业人员小李受客户王某指令，要求进行混码交易。因此，期货公司按照王某的指令进行混码交易，由此造成的损失()。

请观看小学高年段《落花生》教学片段，并按要求回答问题。教学片段介绍。试论述教师课堂提问的功能。

甲与乙素有仇恨,一日,甲见乙持匕首朝自己走来,遂拾起一块石头掷向乙,致乙重伤,后发现乙所持的匕首不过是玩具而已。甲的行为属于()。

质检人员在A、B两种相同数量的产品中进行抽样检查后，如果A产品的合格率比B产品的合格率高出5％，则抽样的产品数可求出．(1)抽出的样品中，A产品中合格品有48个(2)抽出的样品中，B产品中合格品有45个

请补充函数proc()，该函数的功能是：分类统计一个字符串中元音字母和其他字符的个数(不区分大小写)。例如，输入imnIaeouOWC，结果为：A：1E：1I：2O：2U：1other：4。注意：部分源程序给出如下。请勿改动main()函数

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