设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Q），下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-12-29 44

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Q），下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（一1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（一1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Q），下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(x)＞ψ(k)(x0)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．

设X为连续型随饥变量，方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有()

设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．

设g(x)=，f(x)=∫0xg(t)dt．(1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．

若DX=0．004，利用切比雪夫不等式估计概率P{|X—EX|＜0．2}．

已知y1=xex+e2x和y2一xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()

试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．(1)二元函数的极限存在；(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；(3)(4)F(x)=f(x，y0)在点x0处可微，G(y)=f

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n一中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=记X一(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的

设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β＝α1＋α2＋α3．(1)证明：β不是A的特征向量；(2)β，Aβ，A2β线性无关；(3)若A3β＝Aβ，计算行列式｜2A＋3E｜．

已知3阶方阵A的行列式∣A∣=2，方阵．其中Ao为A的(i，j)元素的代数余子式，求AB．

教师向学生系统全面地描述事实，通过分析、论证来归纳和概括科学结论的过程的教学方法是()。

Asanymiddle-classparentknows,unpaidworkexperiencecangiveyoungstersavaluableintroductiontoasecurejob.Thegovern

领导活动的出发点和归宿是______。

参谋职权主要包括()

前臂正位摄影要点中，错误的是

下列描述正确的是

按照深圳证券交易所规定，在不同证券公司的席位之间，当日买入证券一般情况下可以转托管。()

用变量代换x=sint将方程(1一x2)一4y=0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．

DifferencesBetweenChineseCulturesandAmericanCulturesI.GeneraldifferencesA.History—China:atraditionalcenturies-ol

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