设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Q），下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-12-29 68

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Q），下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（一1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（一1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Q），下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

考研数学三

设函数f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)内有界，证明：f’(x)在(一∞，+∞)内有界．

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(A)=f(b)=g(A)=g(b)=0．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使

已知α1=[1，一1，1]T，α2=[1，t，一1]T，α3=[t，1，2]T，β=[4，t2，一4]T，若β可由α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式．

设A是s×n矩阵，B是A的前m行构成的m×n矩阵，已知A的行向量组的秩为r．证明：r(B)≥r+m一s．

证明不等式

设行列式不具体计算D，试利用行列式的定义证明D=0．

已知3阶矩阵A与3维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关．且满足A3x=3Ax一2A2x．计算行列式∣A+E∣．

设4阶矩阵A=[α1β1β2β3]，B=[a2β1β2β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式∣A∣=4，∣B∣=1，则行列式∣A+B∣=_______．

行列式的第4行各元素的余子式之和的值为_______．

求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小的数β

中外秘书协调工作所处的地位是【】

In1959weproducedahundred-fold______steelaswedidin1949.

以下属于均相分散系统的是()。

kV总配电所以放射式向分配电所供电时，该分配电所的电源进线开关宜采用断路器。()

依据监理合同示范文本规定，下列监理工作中，属于“额外监理工作”的是()

下列不属于债券型理财产品的主要投资对象的是()。

能够从上述资料中推出的是：

承认遗腹子与亲生子享有同样的继承权是在下列哪一朝代()

HowSafeIsYourCellPhone?IttakesalittleextraworktogetintouchwithAndreaBoland.TheMainestaterepresentative

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