设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明:在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得f(x)=x.

admin2015-09-10  27

问题 设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f’(x)≠1,证明:在(0,1)区间内有且仅有一个x,使得f(x)=x.

选项

答案令F(x)=f(x)一x.由原题设可知F(x)在[0,1]上连续,又F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)一1<0,由连续函数介值定理可知,[*]x∈(0,1),使F(x)=0,即f(x)=x. 以下证明唯一性:用反证法,假设使得f(x)=x的x不唯一,则至少应有两个,不妨设为x1和x2,(不妨设x1<x2).由罗尔定理可知[*]ξ∈(x1,x2),使F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1,这与原题设f’(x)≠1矛盾.

解析
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