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  3. 设f(u)为连续函数，且∫0χtf(2χ－t)dt＝ln(1＋χ2)，f(1)＝1，则∫12f(χ)dχ＝_______．

设f(u)为连续函数，且∫0χtf(2χ－t)dt＝ln(1＋χ2)，f(1)＝1，则∫12f(χ)dχ＝_______．

admin2021-10-02  57
问题 设f(u)为连续函数，且∫0χtf(2χ－t)dt＝ln(1＋χ2)，f(1)＝1，则∫12f(χ)dχ＝_______．
选项
答案[*]
解析 令2χ－t＝u，则
    ∫0χtf(2χ－t)dt－∫2χχ(2χ－u)f(u)du＝∫χ2χ(2χ－u)f(u)du
    ＝2χ∫χ2χf(u)du－∫χ2χuf(u)du．
    原方程化为
    2χ∫χ2χf(u)du＝∫χ2χuf(u)du＝ln(1＋χ2)．
    两边对X求导得
    2∫χ2χf(u)du－χf(χ)＝，
    令χ＝1，得2∫12f(u)du－f(1)＝，而f(1)＝1，所以∫12f(u)du＝．
    故应填．
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考研数学三

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