设f(u)为连续函数,且∫0χtf(2χ-t)dt=ln(1+χ2),f(1)=1,则∫12f(χ)dχ=_______.

admin2021-10-02  40

问题 设f(u)为连续函数,且∫0χtf(2χ-t)dt=ln(1+χ2),f(1)=1,则∫12f(χ)dχ=_______.

选项

答案[*]

解析 令2χ-t=u,则
    ∫0χtf(2χ-t)dt-∫χ(2χ-u)f(u)du=∫χ(2χ-u)f(u)du
    =2χ∫χf(u)du-∫χuf(u)du.
    原方程化为
    2χ∫χf(u)du=∫χuf(u)du=ln(1+χ2).
    两边对X求导得
    2∫χf(u)du-χf(χ)=
    令χ=1,得2∫12f(u)du-f(1)=,而f(1)=1,所以∫12f(u)du=
    故应填
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