2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，则下列结论 ①若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关； ②若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关； ③若r（α1，α1+α2，α2+α3）=r

已知α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，则下列结论 ①若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关； ②若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关； ③若r（α1，α1+α2，α2+α3）=r

admin2019-07-12  70
问题 已知α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，则下列结论
①若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关；
②若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；
③若r（α1，α1+α2，α2+α3）=r（α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4），则α4可以由α1，α2，α3线性表出。
其中正确的个数是（     ）
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案C
解析 因为α1，α2，α3，α4是三维非零列向量，所以α1，α2，α3，α4必线性相关。
若α1，α2，α3线性无关，则α4必能由α1，α2，α3线性表示，可知结论①正确。
令α1=（1，0，0）T，α2=（0，1，0）T，α3=（0，2，0）T，α4=（0，0，1）T，则α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关，可知结论②错误。
由于    （α1，α1+α2，α2+α3）→（α1，α2，α2+α3）→（α1，α2，α3），
（α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4）→（α4，α1，α2，α3）→（α1，α2，α3，α4），
所以r（α1，α1+α2，α2+α3）=r（α1，α2，α3），r（α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4）=r（α1，α2，α3，α4），
则当r（α1，α1+α2，α2+α3）=r（α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4）时，可得r（α1，α2，α3）=r（α1，α2，α3，α4），因此α4可以由α1，α2，α3线性表示。可知结论③正确。所以选C。
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考研数学三

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