设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足=0,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x2(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u"xx(x,2x),u"xy(x,2x),u"yy(x,2x).

admin2017-12-23  41

问题 设函数u(x,y)有连续二阶偏导数,满足=0,又满足下列条件:u(x,2x)=x,u’x(x,2x)=x2(即u’x(x,y)|y=2x=x2),求u"xx(x,2x),u"xy(x,2x),u"yy(x,2x).

选项

答案将u(x,2x)=x两边对x求导,由复合函数求导法及u’x(x,2x)=x2得 u’x(x,2x)+2u’y(x,2x)=1,u’y(x,2x)=[*](1-x2). 现将u’x(x,2x)=x2,u’y(x,2x)=[*](1-x2)分别对x求导得 u"xx(x,2x)+2u"xy(x,2x)=2x, ① u"yx(x,2x)+2u"yy(x,2x)=-x. ② ①式×2-②式,利用条件u"xx(x,2x)-u"yy(x,2x)=0及u"xy(x,2x)=u"yx(x,2x)得 3u"xy(x,2x)=5x,u"xy(x,2x)=[*]. 代入①式得u"xx(x,2x)=u"yy(x,2x)=[*]

解析
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