设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在使得f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2.

admin2020-05-02  8

问题 设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在使得f′(ξ)+f′(η)=ξ22

选项

答案令[*]则F(0)=f(0)=0,[*]且F(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,对F(x)在区间[*]上应用拉格朗日中值定理,得 [*] 于是,得F′(ξ)+F′(η)=0,即[f′(ξ)-ξ2]+[f′(η)-η2]=0,所以 f′(ξ)+f′(η)=ξ22

解析
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