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  3. 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f”(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明

设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f”(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明

admin2016-06-27  88
问题 设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f”(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明
选项
答案对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)，上使用拉格朗日中值定理 u2一u1=f(2)一f(1)=f’(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2， …… un-1一un-2=f(n一1)一f(n-2)=f’(ξn-2)，n一2＜ξn-2＜n一1， un一un-1=f(n)一f(n一1)=f’(ξn-1)，n—1＜ξn-1＜n． 因f”(x)＞0，故f’(x)严格单调增加，即有 f’(ξn-1)＞f’(ξn-2)＞…＞f’(ξ2)＞f’(ξ1)=u2一u1， 则 un =(un一un-1) +(un-1一un-2)+…+(u2一u1) +u1 =f’(ξn-1)+f’(ξn-2)+…+f’(ξ1)+u1 ＞f’(ξ1)+f’(ξ1)+…+f’(ξ1)+u1 =(n一1)(u2一u1)+u1， 于是有[*]
解析
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考研数学三

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