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设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f”(x)>0,记un=f(n),n=1,2,…,又u1<u2,证明
设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f”(x)>0,记un=f(n),n=1,2,…,又u1<u2,证明
admin
2016-06-27
88
问题
设函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导,且f”(x)>0,记u
n
=f(n),n=1,2,…,又u
1
<u
2
,证明
选项
答案
对函数f(x)分别在区间[k,k+1](k=1,2,…,n,…),上使用拉格朗日中值定理 u
2
一u
1
=f(2)一f(1)=f’(ξ
1
)>0,1<ξ
1
<2, …… u
n-1
一u
n-2
=f(n一1)一f(n-2)=f’(ξ
n-2
),n一2<ξ
n-2
<n一1, u
n
一u
n-1
=f(n)一f(n一1)=f’(ξ
n-1
),n—1<ξ
n-1
<n. 因f”(x)>0,故f’(x)严格单调增加,即有 f’(ξ
n-1
)>f’(ξ
n-2
)>…>f’(ξ
2
)>f’(ξ
1
)=u
2
一u
1
, 则 u
n
=(u
n
一u
n-1
) +(u
n-1
一u
n-2
)+…+(u
2
一u
1
) +u
1
=f’(ξ
n-1
)+f’(ξ
n-2
)+…+f’(ξ
1
)+u
1
>f’(ξ
1
)+f’(ξ
1
)+…+f’(ξ
1
)+u
1
=(n一1)(u
2
一u
1
)+u
1
, 于是有[*]
解析
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考研数学三
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