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设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)].试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|x=2=2/9
设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t2f(t)-f(1)].试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|x=2=2/9
admin
2022-09-14
57
问题
设函数f(x)在[1,+∞)上连续,若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为V(t)=π/3[t
2
f(t)-f(1)].试求y=f(x)所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件y|
x=2
=2/9的解.
选项
答案
由题设,旋转体体积应为π∫
1
t
f
2
(x)dx,则π∫
1
t
f
2
(x)dx=π/3[t
2
f(t)-f(1)],从而∫
1
t
f
2
(x)dx=1/3[t
2
f(t)-f(1)] 两边对t求导,得>f
2
(t)=1/3[2tf(t)+t
2
f
’
(t)],即t
2
f
’
(t)-3f
2
(t)+2tf(t)=0. 令[*] 因此[*] 从而[*]
解析
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0
考研数学二
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