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设三角形三边的长分别为a,b,c,此三角形的面积为S.求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值,并求出这三个相应的距离.
设三角形三边的长分别为a,b,c,此三角形的面积为S.求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值,并求出这三个相应的距离.
admin
2020-01-15
107
问题
设三角形三边的长分别为a,b,c,此三角形的面积为S.求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值,并求出这三个相应的距离.
选项
答案
设P为三角形内的任意一点,该点到边长分别为a,b,c的边的距离分别为x,y,z.由三角形的面积公式有[*] 求f=xyz在约束条件ax﹢by﹢cz-2S=0下的最大值,令 W=xyz﹢λ(ax﹢by﹢cz-2S), 由拉格朗日乘数法,令 [*] 解得唯一驻点为[*]显然,当P位于二三角形的边界上时,f=0,为最小值; 当P位于三角形内部时,f存在最大值,由于驻点唯一,故当[*]时,f最大,[*]
解析
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考研数学二
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