设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积为S．求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．

admin2020-01-15 122

问题设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积为S．求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．

选项

答案设P为三角形内的任意一点，该点到边长分别为a，b，c的边的距离分别为x，y，z．由三角形的面积公式有[*] 求f＝xyz在约束条件ax﹢by﹢cz－2S＝0下的最大值，令 W＝xyz﹢λ(ax﹢by﹢cz－2S)，由拉格朗日乘数法，令 [*] 解得唯一驻点为[*]显然，当P位于二三角形的边界上时，f＝0，为最小值；当P位于三角形内部时，f存在最大值，由于驻点唯一，故当[*]时，f最大，[*]

解析

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