已知A,B为3阶矩阵,其中A可逆,满足2A-1B=B-4E。 (Ⅰ)证明A-2E可逆; (Ⅱ)如果B=,求矩阵A。

admin2018-01-26  27

问题 已知A,B为3阶矩阵,其中A可逆,满足2A-1B=B-4E。
(Ⅰ)证明A-2E可逆;
(Ⅱ)如果B=,求矩阵A。

选项

答案(Ⅰ)由2A-1B=B-4E,得2B=AB-4,4,从而 (A-2E)B=4A。 等式两端取行列式有|A-2E||B|=|4A|≠0,故|A-2E|≠0,因此A-2E可逆。 (Ⅱ)由2A-1B=B-4E,得 A(B-4E)=2B。 因此有(BT-4E)AT=2BT,用初等变换法求解此矩阵方程 (BT-4E:2BT) [*] 于是 AT=[*] 那么,A=[*]

解析
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