设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ－η＝(ea ＋eb )[f’(η)＋f(η)]．

admin2015-07-24 33

问题设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)＝f(b)＝1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e^2ξ－η＝(e^a ＋e^b )[f’(η)＋f(η)]．

选项

答案令φ(x)＝e^x f(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得 [*] 再由f(a)＝f(b)＝1，得[*]＝e^η[f’(η)＋f(η)]，从而[*]＝(e^a ＋e^b )e^η [f’(η)＋f(η)]，令φ(x)＝e^2x ，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得[*]＝2e^2ξ ．即2e^2ξ ＝(e^a＋e^b)e^η[f’(η)＋f(η)]，或2e^2ξ－η＝(e^a＋e^b)[f’(η)＋f(η)]．

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．
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