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设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得2e2ξ-η=(ea +eb )[f’(η)+f(η)].
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得2e2ξ-η=(ea +eb )[f’(η)+f(η)].
admin
2015-07-24
48
问题
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1.证明:存在ξ,η∈(a,b),使得2e
2ξ-η
=(e
a
+e
b
)[f’(η)+f(η)].
选项
答案
令φ(x)=e
x
f(x),由微分中值定理,存在η∈(a,b),使得 [*] 再由f(a)=f(b)=1,得[*]=e
η
[f’(η)+f(η)], 从而[*]=(e
a
+e
b
)e
η
[f’(η)+f(η)], 令φ(x)=e
2x
,由微分中值定理,存在ξ∈(a,b),使得[*]=2e
2ξ
. 即2e
2ξ
=(e
a
+e
b
)e
η
[f’(η)+f(η)],或2e
2ξ-η
=(e
a
+e
b
)[f’(η)+f(η)].
解析
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考研数学一
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