2. 考研
  3. 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且X的概率分布为 其中0＜θ＜1，分别用n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，试求 (I)未知参数θ的最大似然估计量； (Ⅱ)未知参数θ的矩估计量； (Ⅲ)当样本值为1，2，1，

设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且X的概率分布为 其中0＜θ＜1，分别用n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，试求 (I)未知参数θ的最大似然估计量； (Ⅱ)未知参数θ的矩估计量； (Ⅲ)当样本值为1，2，1，

admin2019-01-22  39
问题 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且X的概率分布为

其中0＜θ＜1，分别用n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，试求
(I)未知参数θ的最大似然估计量；
(Ⅱ)未知参数θ的矩估计量；
(Ⅲ)当样本值为1，2，1，4，5，4，1，5时的最大似然估计值和矩估计值。
选项
答案(I)根据已知，样本中出现1，2，4，5的次数分别为n1，n2，n3，n－n1－n2－n3，则似然函数为 L(θ)﹦(1－θ)2n1[θ(1－θ)]n1[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n1－n1)， 两边取对数 ln L(θ)﹦ln{(1－θ)2n1[η(1－θ)]n2[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n2－n3)} ﹦(2n1﹢n2﹢n3)ln(1－θ)﹢(2n－2n1－n2－n3)ln θ， 两边同时对θ求导 [*] 解得θ的最大似然估计量为[*]。 (Ⅱ)总体X的数学期望为 E(X)﹦1X(1－θ)2﹢2[θ(1－θ)]﹢4[θ(1－θ)]﹢5θ2﹦1﹢4θ， 因此可得θ的矩估计量为[*]。 (Ⅲ)利用上面的两个估计量公式，当样本值为1，2，1，4，5，4，1，5时，θ的最大似然估计值为[*] 本题考查最大似然估计和矩估计。因为n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，因此5出现的次数即为n－n1－n2－n3。再根据最大似然估计量的求解步骤构造似然函数，取对数，求导。矩估计量与各个随机变量出现的次数无关，根据X的概率分布计算期望，求矩估计量。
解析
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考研数学一

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