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设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,且X的概率分布为 其中0<θ<1,分别用n1,n2,n3表示X1,X2,…,Xn中出现1,2,4的次数,试求 (I)未知参数θ的最大似然估计量; (Ⅱ)未知参数θ的矩估计量; (Ⅲ)当样本值为1,2,1,
设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,且X的概率分布为 其中0<θ<1,分别用n1,n2,n3表示X1,X2,…,Xn中出现1,2,4的次数,试求 (I)未知参数θ的最大似然估计量; (Ⅱ)未知参数θ的矩估计量; (Ⅲ)当样本值为1,2,1,
admin
2019-01-22
36
问题
设X
1
,X
2
,…,X
n
是来自总体X的简单随机样本,且X的概率分布为
其中0<θ<1,分别用n
1
,n
2
,n
3
表示X
1
,X
2
,…,X
n
中出现1,2,4的次数,试求
(I)未知参数θ的最大似然估计量;
(Ⅱ)未知参数θ的矩估计量;
(Ⅲ)当样本值为1,2,1,4,5,4,1,5时的最大似然估计值和矩估计值。
选项
答案
(I)根据已知,样本中出现1,2,4,5的次数分别为n
1
,n
2
,n
3
,n-n
1
-n
2
-n
3
,则似然函数为 L(θ)﹦(1-θ)
2n
1
[θ(1-θ)]
n
1
[θ(1-θ)]
n
3
θ
2(n-n
1
-n
1
-n
1
)
, 两边取对数 ln L(θ)﹦ln{(1-θ)
2n
1
[η(1-θ)]
n
2
[θ(1-θ)]
n
3
θ
2(n-n
1
-n
2
-n
3
)} ﹦(2n
1
﹢n
2
﹢n
3
)ln(1-θ)﹢(2n-2n
1
-n
2
-n
3
)ln θ, 两边同时对θ求导 [*] 解得θ的最大似然估计量为[*]。 (Ⅱ)总体X的数学期望为 E(X)﹦1X(1-θ)
2
﹢2[θ(1-θ)]﹢4[θ(1-θ)]﹢5θ
2
﹦1﹢4θ, 因此可得θ的矩估计量为[*]。 (Ⅲ)利用上面的两个估计量公式,当样本值为1,2,1,4,5,4,1,5时,θ的最大似然估计值为[*] 本题考查最大似然估计和矩估计。因为n
1
,n
2
,n
3
表示X
1
,X
2
,…,X
n
中出现1,2,4的次数,因此5出现的次数即为n-n
1
-n
2
-n
3
。再根据最大似然估计量的求解步骤构造似然函数,取对数,求导。矩估计量与各个随机变量出现的次数无关,根据X的概率分布计算期望,求矩估计量。
解析
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考研数学一
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