设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性．

admin2016-05-03 24

问题设A=

，其中s，n是正整数，证明A^TA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵A^TA的正定性．

选项

答案(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA，则A^TA是实对称矩阵．当s＞n时，A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数n)，故Ax=0有非零解，即存在x≠0，使得Ax=0，从而使x^TA^TAx=0，故当s＞n时，A^TA不是正定矩阵．当s=n时，范德蒙德行列式｜A｜≠0，A是可逆矩阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A^TA是正定矩阵．当s＜n时，A的列向量组线性无关(当s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)， Ax=0只有零解，即任给x≠0，均有Ax≠0，从而有(Ax)^TAx=x^TA^TAx＞0，从而A^TA是正定矩阵．故当s≤n时，A^TA是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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设A=，其中s，n是正整数，证明ATA是实对称阵，并就正整数s，n的情况讨论矩阵ATA的正定性．

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