设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则 ①若A可逆,则B可逆; ②若B可逆,则A+B可逆; ③若A+B可逆,则AB可逆;④A-E恒可逆。 上述命题中,正确的个数为( )

admin2017-03-08  52

问题 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则
①若A可逆,则B可逆;    ②若B可逆,则A+B可逆;
③若A+B可逆,则AB可逆;④A-E恒可逆。
上述命题中,正确的个数为(    )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析 由AB=A+B,有(A-E)B=A。若A可逆,则
    |(A-E)B|=|A-E|×|B|=|A|≠0,
  所以|B|≠0,即矩阵B可逆,从而命题①正确。
    同命题①类似,由B可逆可得出A可逆,从而AB可逆,那么A+B=AB也可逆,故命题②
    正确。
    因为AB=A+B,若A+B可逆,则有AB可逆,即命题③正确。
    对于命题④,用分组因式分解,即
    AB-A-B+E=E,则有(A-E)(B-E)=E,
  所以得A-E恒可逆,命题④正确。
    所以应选D。
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