设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

admin2013-09-03 63

问题设A，B为同阶方阵，
  (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
  (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立．
  (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P^-1AP｜=｜P^-1λEP-P^-1AP｜=｜P^-1(λE-A)P｜= ｜P^-1｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜． (Ⅱ)令A=[*]，那么｜λE-A｜=λ=｜λ²=E-B｜．但A，B不相似，否则，存在否逆矩阵P，使P^-1AP=B=0．从而A=P0P^-1=0，矛盾，亦可从r(A)=1，r(B)=0而知A与B不相似． (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ₁，…，λ₁，则有A相似于[*] 即存在可逆矩阵P，Q使P^-1AP=[*] 于是(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)=B．由PQ^-1为可逆矩阵知，A与B相似．

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

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设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，已知Ax=β的通解为其中为对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，令B=(α1，α2，α3)，试求By=β的通解．

设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)利用第一问的结论计算定积分

设，又un=x1+x2+…+xn，证明当n→∞时，数列{un}收敛．

设对于半空间x＞0内的任意光滑有向封闭曲面∑，都有其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且，求f(x)

设a＞0，b＞0,c＞0且讨论,f(－1),f(1)五者之间的大小关系。

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承租人甲与出租人乙于5年前签订了一套住宅的租赁合同，该套住宅面积为200m2，租赁期限为8年，年租金固定不变为480元/m2。现市场上类似住宅的年租金为600元/m2。若折现率为8%，则承租人甲当前的权益价值为()万元。

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