设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

admin2013-09-03 98

问题设A，B为同阶方阵，
  (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
  (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立．
  (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P^-1AP｜=｜P^-1λEP-P^-1AP｜=｜P^-1(λE-A)P｜= ｜P^-1｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜． (Ⅱ)令A=[*]，那么｜λE-A｜=λ=｜λ²=E-B｜．但A，B不相似，否则，存在否逆矩阵P，使P^-1AP=B=0．从而A=P0P^-1=0，矛盾，亦可从r(A)=1，r(B)=0而知A与B不相似． (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ₁，…，λ₁，则有A相似于[*] 即存在可逆矩阵P，Q使P^-1AP=[*] 于是(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)=B．由PQ^-1为可逆矩阵知，A与B相似．

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

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设函数．设数列{xn}满足证明存在，并求此极限．

设A为n阶方阵，且A的各行元素之和为0，A为A的伴随矩阵，A≠O，则A*x=0基础解系的解向量的个数为___________________．

设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)证明

计算，其中S为锥面被柱面x2+y2=2x所截得的部分．

双纽线r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转一周所围成的旋转曲面面积S＝________．

一容器内表面是由曲线y＝x2(0≤x≤2，单位：m)绕y轴旋转一周所得到的曲面，现以2m3／min的速率注入某液体，求：当液面升高到1m时液面上升的速率．

证明不等式：xarctanx≥1/2ln(1+x2)．

设x的概率密度为f(x)=，F(x)是x的分布函数，求Y=F(x)的分布函数和概率密度。

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=，b=时，统计量X服从X2分布，其自由度为___．

A．门脉性肝硬化B．胆汁性肝硬化C．坏死后性肝硬化D．血吸虫性肝硬化结节大小相仿，假小叶大小不等见于

投保人对保险标的应当具有保险利益，投保人对保险标的不具有保险利益的，保险合同无效。(　　)

以下关于测算债券价格波动性的方法说法正确的有(　　)。

证券经营机构业务内容主要分为()三类。

在数据表中，由于各字段的数据所属的类别不尽相同，可适合于不同的操作。用于必须以文字方式的数据，其字段属性应属于（）。

()是态度发生变化的必要条件，但不是充分条件。

若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=

在Windows2003操作系统中，如需要经常对多台计算机进行“远程桌面”管理，可在“运行”窗口中输入(62)命令。

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