设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

admin2013-09-03 110

问题设A，B为同阶方阵，
  (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
  (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立．
  (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

选项

答案(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，故｜λE-B｜=｜λE-P^-1AP｜=｜P^-1λEP-P^-1AP｜=｜P^-1(λE-A)P｜= ｜P^-1｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜． (Ⅱ)令A=[*]，那么｜λE-A｜=λ=｜λ²=E-B｜．但A，B不相似，否则，存在否逆矩阵P，使P^-1AP=B=0．从而A=P0P^-1=0，矛盾，亦可从r(A)=1，r(B)=0而知A与B不相似． (Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ₁，…，λ₁，则有A相似于[*] 即存在可逆矩阵P，Q使P^-1AP=[*] 于是(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)=B．由PQ^-1为可逆矩阵知，A与B相似．

解析

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考研数学一

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设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

考研数学一

设A为3阶方阵，｜A｜=2，A为A的伴随矩阵．若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则｜BA｜=__________________．

设线性方程组设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．

求下列函数的导数：

已知函数f(x)二阶可导，曲线y=f”(x)的图形如图1-2-3所示，则曲线y=f(x)()

设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得

设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．求f(x)的表达式．

设函数z=x(x，y)具有二阶连续导数，变量代换u=ax+y，v=x+by把方程化为求ab。

设a(x)=，β(x)=,则当x→0+时，a(x)是β(x)的（）。

设f(x)可导，则当△x→0时。△y=dy是△x的()．

讨论函数f(χ)＝(χ＞0)的连续性．

早期硅结节中的细胞是()

与其他4个指标具有不同含义的是

A．起始部B．直线部C．肩部D．反转部E．以上都是感光过度部分是

抗甲状腺药物的作用机制是抑制甲状腺放甲状腺激素。

下列小说中，属于清代的作品有()。

2014年政府工作报告指出要“着重解决好现有‘三个1亿人’问题”，指的是()。

关于经济基础对法律的决定作用，下列说法不正确的是()

若有以下程序　　main(　)　　{　intp,a=5;　　　if(p=a!=0)　　　printf("%d\n",p);　　　else　　　printf("%d\n",p+2);　　}　　执行后输出结果是【】。

Leasingisanarrangementwherebyonepartyobtainsonalong-termbasistheuseof______whichbelongstoanotherparty.

AstheworldexcitedlygreetedSnuppy,thefirstcloned(克隆)dog,commentatorscelebratedourcleverness.Manyfeelproudthatour

设A，B为同阶方阵， (Ⅰ)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立． (Ⅲ)当A，B均实对称矩阵时，试证(Ⅰ)的逆命题成立．

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设A为3阶方阵，｜A｜=2，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________________．

设线性方程组设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．

求下列函数的导数：

已知函数f(x)二阶可导，曲线y=f”(x)的图形如图1-2-3所示，则曲线y=f(x)()

设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得

设函数f(x)在区间(0，＋∞)内有定义，且对于任意的x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，有f(xy)＝f(x)＋f(y)＋(x－1)(y－1)，又设f’(1)存在且等于a，a≠1．求f(x)的表达式．

设函数z=x(x，y)具有二阶连续导数，变量代换u=ax+y，v=x+by把方程化为求ab。

设a(x)=，β(x)=,则当x→0+时，a(x)是β(x)的（）。

设f(x)可导，则当△x→0时。△y=dy是△x的()．

讨论函数f(χ)＝(χ＞0)的连续性．

早期硅结节中的细胞是()

与其他4个指标具有不同含义的是

A．起始部B．直线部C．肩部D．反转部E．以上都是感光过度部分是

抗甲状腺药物的作用机制是抑制甲状腺放甲状腺激素。

下列小说中，属于清代的作品有()。

2014年政府工作报告指出要“着重解决好现有‘三个1亿人’问题”，指的是()。

关于经济基础对法律的决定作用，下列说法不正确的是()

若有以下程序 main( ) { intp,a=5; if(p=a!=0) printf("%d\n",p); else printf("%d\n",p+2); } 执行后输出结果是【】。

Leasingisanarrangementwherebyonepartyobtainsonalong-termbasistheuseof______whichbelongstoanotherparty.

AstheworldexcitedlygreetedSnuppy,thefirstcloned(克隆)dog,commentatorscelebratedourcleverness.Manyfeelproudthatour

设A为3阶方阵，｜A｜=2，A为A的伴随矩阵．若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则｜BA｜=__________________．

若有以下程序　　main(　)　　{　intp,a=5;　　　if(p=a!=0)　　　printf("%d\n",p);　　　else　　　printf("%d\n",p+2);　　}　　执行后输出结果是【】。