A为m×n矩阵,秩为m;B为n×(n-m)矩阵,秩为n-m;又知AB=0,α是满足条件Aα=0的一个n维列向量,证明:存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ.

admin2016-07-11  37

问题 A为m×n矩阵,秩为m;B为n×(n-m)矩阵,秩为n-m;又知AB=0,α是满足条件Aα=0的一个n维列向量,证明:存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ.

选项

答案证明:B为n×(n—m)矩阵,且秩为n—m,故方程Bx=0只有零解,先假设Bx=a有解,假设Bx=α有两个不同解β1,β2,则有 Bβ1=α,Bβ2=α,故B(β1一β2)=0得β12.故Bx=α在有解的情形只有唯一解. 下证Bx=α有解:由AB=0,A的秩为m,可知Ax=0的基础解系含n一m个解向量,而B的秩为n—m,这表示B的n—m个列向量即构成Ax=0的基础解系,设B的这n一m个列向量分别为α1,α2,…,αn-m,又Aα=0故可将α表示成α=k1α1+…+kn-mαn-m,令β=(k1,k2,…,kn-m)T. 即Bβ=(α1,α2…,αn-m)[*]=(k1α1+k2α2+…+kn-mαn-m)=α. 所以Bβ=α有解,即存在唯一的β使得Bβ=α,得证.

解析
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