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A为m×n矩阵,秩为m;B为n×(n-m)矩阵,秩为n-m;又知AB=0,α是满足条件Aα=0的一个n维列向量,证明:存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ.
A为m×n矩阵,秩为m;B为n×(n-m)矩阵,秩为n-m;又知AB=0,α是满足条件Aα=0的一个n维列向量,证明:存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ.
admin
2016-07-11
75
问题
A为m×n矩阵,秩为m;B为n×(n-m)矩阵,秩为n-m;又知AB=0,α是满足条件Aα=0的一个n维列向量,证明:存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ.
选项
答案
证明:B为n×(n—m)矩阵,且秩为n—m,故方程Bx=0只有零解,先假设Bx=a有解,假设Bx=α有两个不同解β
1
,β
2
,则有 Bβ
1
=α,Bβ
2
=α,故B(β
1
一β
2
)=0得β
1
=β
2
.故Bx=α在有解的情形只有唯一解. 下证Bx=α有解:由AB=0,A的秩为m,可知Ax=0的基础解系含n一m个解向量,而B的秩为n—m,这表示B的n—m个列向量即构成Ax=0的基础解系,设B的这n一m个列向量分别为α
1
,α
2
,…,α
n-m
,又Aα=0故可将α表示成α=k
1
α
1
+…+k
n-m
α
n-m
,令β=(k
1
,k
2
,…,k
n-m
)
T
. 即Bβ=(α
1
,α
2
…,α
n-m
)[*]=(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-m
α
n-m
)=α. 所以Bβ=α有解,即存在唯一的β使得Bβ=α,得证.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
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线性代数(经管类)
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