设函数f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )

admin2019-12-26 53

问题设函数f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )

选项 A、f_x′(0，0)与f_y′(0，0)都不存在．
B、f_x′(0，0)与f_y′(0，0)都存在，但都不为0．
C、f_x′(0，0)=0，f_y′(0，0)=0，但f(x，y)不可微．
D、f(x，y)可微，且df(x，y)|_(0,0)=0．

答案D

解析

由于

为有界变量，

故

即f_x′(0，0)=0．同理f_y′(0，0)=0，排除(A)，(B)．
△f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=|△x－△y|g(△x，△y)，
△f-[f_x(0，0)△x+f_y′(0，0)△y]=|△x－△y|g(△x，△y)，

由于

且

故

可知f(x,y)在(0,0)点可微，故应选D．

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考研数学三

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