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设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明: 其中Er是r阶单位阵.
设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明: 其中Er是r阶单位阵.
admin
2016-07-22
23
问题
设A是n阶矩阵,满足A
2
=A,且r(A)=r(0<r≤n).证明:
其中E
r
是r阶单位阵.
选项
答案
方法一 A
2
=A,A的特征值的取值为1,0,由A-A
2
-A(E-A)=O知 r(A)+r(E-A)≤n, r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n, 故r(A)+r(E-A)=n,r(A)=r,从而r(E-A)=n-r 对λ=1,(E-A)X=0,因r(E-A)=n-r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
; 对λ=0,(0E-A)X=0,即AX=0,因r(A)=r,有n-r个线性无关特征向量,设为ξ
r+1
,ξ
r+2
,…,ξ
n
. 故存在可逆阵P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
],使得P
-1
AP=[*] 方法二 r(A)=r,A有r个列向量线性无关,设为前r列,将A按列分块,有 A
2
=A[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
]=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
]=A, 即Aξ
i
=ξ
i
,i=1,2,…,r,故λ=1至少是r重根,又r(A)=r,AX=0有n-r个线性无关解,设为η
r+1
,η
r+2
,…,η
n
,即Aη
j
=0,j=r+1,…,n.故λ=0是A的特征值,η
j
,j=r+1,…,n是对应的特征向量.令P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,η
r+1
,…,η
n
],有P
-1
AP=[*]
解析
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考研数学一
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