2. 考研
  3. 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=－f(ξ)cotξ．

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=－f(ξ)cotξ．

admin2022-06-30  20
问题 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=－f(ξ)cotξ．
选项
答案令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(π)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx， 于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f’(ξ)=－f(ξ)cotξ．
解析
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考研数学二

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