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(2010年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3). (Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0.
(2010年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3). (Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0.
admin
2021-01-25
49
问题
(2010年)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3).
(Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f’’(ξ)=0.
选项
答案
(Ⅰ)设F(x)=∫
0
x
f(t)dt(0≤x≤2) 则 ∫
0
2
f(x)dx=F(2)一F(0). 根据拉格朗日中值定理,存在η∈(0,2),使 F(2)一F(0)=2F’(η)=2f(η), 即 ∫
0
2
f(x)dx=2f(η). 由题设知∫
0
2
f(x)dx=2f(0),故f(η)=f(0). (Ⅱ)[*]介于f(x)在[2,3]上的最小值与最大值之间,根据连续函数的介值定理,存在ζ∈[2,3],使 [*] 由题设知[*],故f(ζ)=f(0). 由于f(0)=f(η)=f(ζ),且0<η<ζ≤3,根据罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,η),ξ
2
∈(η,ζ),使f’(ξ
1
)=0, f’(ξ
2
)=0,从而存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3),使得 f(ξ)=0.
解析
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0
考研数学三
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