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  3. 设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。

设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。

admin2019-05-08  56
问题 设f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲线y=f（x）与x轴所围封闭图形的面积。
选项
答案因为t|t|为奇函数，可知其原函数 f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt 为偶函数，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）与x轴有交点（—1，0），（1，0）。 又由f’（x）=x|x|，可知x＜0时，f’（x）＜0，故f（x）单调减少，从而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；当x＞0时，f’（x）=x|x|＞0，故x＞0时f（x）单调增加，且y=f（x）与x轴有唯一交点（1，0）。 因此y=f（x）与x轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A=∫—11|f（x）|d=2∫—10|f（x）|dx。 当x＜0时，f（x）= ∫—1xt|t|dt=∫—10一t2dt=[*]（1+ x3），故 A=2∫—10[*]（1+x3）dx=[*]。
解析
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考研数学三

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