设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明：存在某个向量αk(2≤k≤m)，使αk能由α1，α2，…，αk-1线性表示．

admin2020-06-05 3

问题设向量组α₁，α₂，…，α_m线性相关，且α₁≠0，证明：存在某个向量α_k(2≤k≤m)，使α_k能由α₁，α₂，…，α_k-1线性表示．

选项

答案因为α₁，α₂，…，α_m线性相关，所以存在不全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_m，使 λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_mα_m＝0 且λ₂，λ₃…，λ_m不全为零．这是因为，如若不然，则λ₁α₁＝0，由α₁≠0知λ₁＝0，矛盾．设等式λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_mα_m＝0自右向左第一个不为零的数为λ_k(2≤k≤m)，即 λ_k≠0，λ_k+1＝λ_k+2＝…＝λ_m＝0 于是 λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_kα_k＝0 即 α_k＝[*] 也就是α_k能由α₁，α₂，…，α_k-1线性表示．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，α2，…，αm线性相关，且α1≠0，证明：存在某个向量αk(2≤k≤m)，使αk能由α1，α2，…，αk-1线性表示．

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