设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )

admin2019-05-15 38

问题设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]²=x，且f’(0)=0，则( )

选项 A、f(0)是f(x)的极大值。
B、f(0)是f(x)的极小值。
C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。
D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。

答案C

解析令等式f"(x)+[f’(x)]²=x中x=0，得f"(0)=0一[f’(0)]²=0，无法利用极值的第二充分条件进行判定。
对f"(x)求导数
f"’(x)=(x一[f’(x)]²)’=1—2f’(x)f"(x)，
将f’(0)=0代入，有f"’(0)=1，所以由导数定义

从而存在x=0的去心邻域，在此去心邻域内，f"(x)与x同号，且当x＜0时，f"(x)＜f"(0)=0，故曲线y=f(x)是凸的，当x＞0时，f"(x)＞f"(0)=0，故曲线y=f(x)是凹的，因此点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，故选C。

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考研数学一

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