设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值．x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．

admin2016-06-25 72

问题设A为n阶矩阵，λ₁和λ₂是A的两个不同的特征值．x₁，x₂是分别属于λ₁和λ₂的特征向量，试证明：x₁+x₂不是A的特征向量．

选项

答案反证法假设x₁+x₂是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x₁+x₂)=λ(x₁+x₂)，则 (λ—λ₁)x₁+(λ一λ₂)x₂=0．因为λ₁≠λ₂，所以x₁，x₂线性无关，则[*]→λ₁=λ₂．矛盾．

解析

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