已知xy’+p(x)y=x有解y=ex,求方程满足y|x=ln 2=0的解.

admin2017-10-23  41

问题 已知xy’+p(x)y=x有解y=ex,求方程满足y|x=ln 2=0的解.

选项

答案把已知解代入方程,得[x+p(x)]ex=x,由此可确定方程的待定系数p(x)=x(e—x一1),于二是原方程就是y’+(e—x一1)y=1.与它对应的齐次线性微分方程y’+(e—x一1)y=0的通解是y=[*];把这个通解加上非齐次方程的已知特解y=ex即得原方程的通解.利用初始条件yx=ln 2=0可确定常数C=一[*].

解析 首先把已知解代入方程,即可确定方程的待定系数p(x);其次,把得到的系数p(x)代入原方程,并求对应的齐次线性微分方程的通解;再把非齐次微分方程的已知特解y=ex与之相加,即得原方程的通解.由此求满足给定初始条件的特解就容易了.
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