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设A=(aij)是m×n矩阵，β=(b1，b2，…，bn)是n维行向量，如果方程组(Ⅰ)Ax=0的解全是方程(Ⅱ)b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解，证明β可用A的行向量α1，α2，…，αm线性表出．
设A=(aij)是m×n矩阵，β=(b1，b2，…，bn)是n维行向量，如果方程组(Ⅰ)Ax=0的解全是方程(Ⅱ)b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解，证明β可用A的行向量α1，α2，…，αm线性表出．
admin
2016-10-26
41
问题
设A=(a
ij
)是m×n矩阵，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)是n维行向量，如果方程组(Ⅰ)Ax=0的解全是方程(Ⅱ)b
1
x
1
+b
2
x
2
+…+b
n
x
n
=0的解，证明β可用A的行向量α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出．
选项
答案
构造一个联立方程组 [*] 简记为Cx=0，显然，(Ⅲ)的解必是(Ⅰ)的解，又因(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，于是(Ⅰ)的解也必全是(Ⅲ)的解，所以(Ⅰ)，(Ⅲ)是同解方程组，它们有相同的解空间．从而n一r(A)=n一r(C)，即r(A)=r(C)，亦即r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=r(α
1
，α
2
，…，α
m
，β)． 因此极大线性无关组所含向量个数相等，这样α
1
，α
2
，…，α
m
的极大线性无关组也必是α
1
，…，α
m
，β的极大线性无关组，从而β可由α
1
，α
2
，…，α
m
线性表出．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/EFu4777K
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考研数学一
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