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  3. 设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2013-04-04  51
问题 设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
选项
答案证法一：(定义法) 若有一组数k，k1，k2，…，kt，使得 kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0， 则因α1，α2，...,αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，用A左乘上式的两边，有 (k+k1+k2+…+kt)Aβ=0． 由于Aβ≠0，故k+k1+k2+…+kt=0． 重新分组为(k+k1+k2+…+kt)β+k1α1+k2α1+…+ttαt=0． k1α1+k2α1+…+ttαt=0． 由于α1，α2，...,αt是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0，k2=0，…，kt=0． k=0． 因此，向量组β，β+α1，...,β+αt线性无关． 证法二：(用秩) 经初等变换向量组的秩不变．把第1列的一1倍分别加至其余各列，有 (β，β+α1，β+α2,...,β+αt)→(β，α1，α2，…，αt)． 因此 r(β，β+α1，β+α2,...,β+αt)=r(β，α1，α2，…，αt)． 由于α1，α2，…，αt是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α1，α2，…，αt)=t，又β必不能由α1，α2，…，αt 线性表出(否则Aβ=0)，故 r(β，α1，α2，…，αt，β)=t+1． 所以 r(β，β+α1，β+α2,...,β+αt)=t+1． 即向量组β，β+α1，β+α2,...,β+αt线性无关．
解析
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考研数学一

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